Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке, подробно рассписать

Answer 1

$y = left(dfrac{1}{3} right)^{x-1} + 8, [-3; 1]$

Найдем производную данной функции:

$y' = left(left(dfrac{1}{3} right)^{x-1} + 8right)' = left(dfrac{1}{3} right)^{x-1} ln dfrac{1}{3}$

Найдем критические (стационарные) точки функции, приравняв производную к нулю:

$left(dfrac{1}{3} right)^{x-1} ln dfrac{1}{3} = 0$

$left(dfrac{1}{3} right)^{x-1} = 0$

$x = varnothing$

Данная функция не имеет критических (стационарных) точек.

Значит, наибольшим и наименьшим значением исходной функции будет один из концов отрезка: $-3$ или $1$. Определим значение функции в точках $x_{0} = -3$ и $x_{0} = 1$.

$y(-3) = left(dfrac{1}{3} right)^{-3-1} + 8 = 3^{4} + 8 = 81 + 8 = 89$

$y(1) = left(dfrac{1}{3} right)^{1-1} + 8 = left(dfrac{1}{3} right)^{0} + 8 = 1 + 8 = 9$

Таким образом, наибольшим значением функции является 89, а наименьшим — 9.

Ответ: $displaystyle max_{[-3; 1]} y = y(-3) = 89, displaystyle min_{[-3; 1]} y = y(1) = 9$