Question

Помогите срочно и пожалуйста вычислить интеграл!!!

Answer 1

$intlimits^5_1 {frac{xdx}{sqrt{1+8x}} } ,= frac{1}{8} intlimits^5_1 {frac{8xdx}{sqrt{1+8x}} } ,= frac{1}{8} intlimits^5_1 {frac{(1+8x-1)dx}{sqrt{1+8x}} } ,= frac{1}{8} intlimits^5_1 {frac{(1+8x)dx}{sqrt{1+8x}} } .- frac{1}{8} intlimits^5_1 {frac{dx}{sqrt{1+8x}} } ,=$

$= frac{1}{8} intlimits^5_1sqrt{1+8x}dx.- frac{1}{8} intlimits^5_1 {frac{dx}{sqrt{1+8x}} } ,= frac{1}{64} intlimits^5_1sqrt{1+8x}d(1+8x).- frac{1}{64} intlimits^5_1 {frac{d(1+8x)}{sqrt{1+8x}} } ,=$

$=frac{1}{64}(frac{(1+8x)^{frac{3}{2}}}{frac{3}{2}}|^{5}_{1}-frac{1}{64} }cdot 2sqrt{1+8x}|^{5}_{1}=$

$=frac{2}{192}cdot ((1+8cdot 5)^{frac{3}{2}}-(1+8cdot1)^{frac{3}{2}} )-frac{1}{32}cdot (sqrt{1+8cdot5}-sqrt{ 1+8cdot1})=\\=frac{1}{96}(41sqrt{41}-27})- frac{1}{32}(sqrt{41}-3)=frac{38}{96}sqrt{41}-frac{18}{96}= frac{19}{48}sqrt{41}-frac{3}{16}$

можно применить метод замены переменной:

$sqrt{1+8x}=t$

$1+8x=t^2$

$x=frac{t^2-1}{8} \\dx=frac{tdt}{4}$

Пределы интегрирования

при x=1;  t=3

при х=5; t=√41

$intlimits^{sqrt{41}}_3 {frac{frac{t^2-1}{8} }{t} } ,frac{tdt}{4} =frac{1}{32} intlimits^{sqrt{41}}_3(t^2-1)dt=frac{1}{32}(frac{t^3}{3}-t)| ^{sqrt{41}}_3=$

$=frac{1}{32} (frac{(sqrt{41})^3-3^3}{3}-(sqrt{41}-3))=frac{19sqrt{41}}{48}-frac{3}{16}$