Question

Решите на множестве R уравнения первой степени:
1)5x^4-2x^2-3=0
2) 6x^4-5x^2+1=0
3)3x^4-10x^2+3=0

Answer 1

Подобные уравнения решаются через замену переменной.

$1) 5x^4-2x^2-3=0\\x^2 = r\\5r^2 - 2r - 3 = 0\\D = 4 + (5cdot 4cdot 3) = 4 + 60 = 64\\sqrt D = 8\\r_1 = frac{2-8}{10} = frac{-6}{10}=-frac{3}{5}\\r_2 = frac{2+8}{10} = frac{10}{10} = 1$

Корень $r_1$ нам не подходит, так как относится к множеству комплексных чисел ($C$), а нас просят решить уравнение на множестве $R$ (множестве действительных чисел).

$x^2 = r_2\\x^2 = 1\\x_1 = 1\\x_2 = -1$

Ответ на Уравнение №1: $x_{1,2} = pm1$.

$2) 6x^4-5x^2+1=0\\x^2 = m\\6m^2 - 5m + 1 = 0\\D = 25 - 24 = 1\\sqrt D = 1\\m_1 = frac{5-1}{12} = frac{4}{12}= frac{1}{3}\\m_2 = frac{5+1}{12} = frac{6}{12} = frac{1}{2}\\x^2 = m_1\\x^2 = frac{1}{3}\\x_1 = sqrtfrac{1}{3} = frac{sqrt3}{3}\\x_2 = - sqrtfrac{1}{3} = -frac{sqrt3}{3}\\x^2 = m_2\\x^2 = frac{1}{2}\\x_3 = sqrtfrac{1}{2} = frac{sqrt2}{2}\\x_4 = - sqrtfrac{1}{2} = -frac{sqrt2}{2}$

Ответ на Уравнение №2: $x_{1,2} = pmfrac{sqrt3}{3}$, $x_{3,4} = pm frac{sqrt2}{2}$

$2) 3x^4-10x^2+3=0\\x^2 = n\\3n^2 - 10n + 3 = 0\\D = 100 -36 = 64\\sqrt D = 8\\n_1 = frac{10-8}{6} = frac{2}{6}= frac{1}{3}\\n_2 = frac{10+8}{6} = frac{18}{6} = 3\\x^2 = n_1\\x^2 = frac{1}{3}\\x_1 = sqrtfrac{1}{3} = frac{sqrt3}{3}\\x_2 = - sqrtfrac{1}{3} = -frac{sqrt3}{3}\\x^2 = n_2\\x^2 = 3\\x_3 = sqrt3\\x_4 = - sqrt3$

Ответ на Уравнение №3: $x_{1,2} = pmfrac{sqrt3}{3}$, $x_{3,4} = pm sqrt3$

Удачи!