Question

У квадрат зі стороною 8 см вписано квадрат, вершинами якого є середини сторін заданого квадрата. У другий квадрат у такий же спосіб вписано третій квадрат і т.д. Знайдіть площу шостого квадрата.​

Answer 1

См. рис.

$b_1=8$ см.

По т. Пифагора сторона второго квадрата $b_2=sqrt{16+16}=sqrt{32}=sqrt{16cdot2}=4sqrt2$ см

По т. Пифагора сторона третьего квадрата

$b_3=sqrt{(2sqrt2)^2+(2sqrt2)^2}=sqrt{8+8}=sqrt{16}=4$ см

Очевидно, что значения длин сторон квадратов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=frac{sqrt2}2=frac1{sqrt2}$

Тогда сторона шестого квадрата

$b_6=b_1cdot q^5=8cdotleft(frac1{sqrt2}right)^5=8cdotfrac1{4sqrt2}=frac2{sqrt2}=sqrt2$ см.