написати рівняння сфери центр якої лежить на осі ох і яка доторкається до площини 2х-4y-3z+21=0 5x-2z=0
Ответы
Ответ:
(x+3)²+y²+z²=225/841 или (x-7)²+y²+z²=1225/841
Объяснение:
α: 2x-4y-3z+21=0, β: 5x-2z=0
Уравнение сферы с центром (x₀;y₀;z₀) и радиусом R (x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R²
Радиус сферы проведённый в точку касания с плоскостью перпендикулярен этой плоскости. Значить, центр данной сферы равноудалён от заданных плоскостей.
Так как центр данной сферы лежит на оси Ох то её координаты О(х,0,0)
Расстояние от точки M(x₀;y₀;z₀) до плоскости заданной уравнением Ax+By+Cz+D=0 равно d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/|n|, где |n| длина нормального вектора плоскости. Координаты этого вектора равны {A;B;C}. n²=A²+B²+C²
Пусть E и F соответственно точки касания сферы с плоскостями α и β.
OE⊥α, OF⊥β, OE²=OF², α: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и β:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0
OE²=(2·x+(-4)·0+(-3)·0+21)²/(2²+(-4)²+(-3)²)=(2x+21)²/29²
OF²=(5·x+0·0+(-2)·0+0)²/(5²+0²+(-2)²)²=(5x)²/29²
OE²=OF²⇒(2x+21)²=(5x)²
2x+21=±5x
1) 2x+21=-5x
7x=-21
x=-3⇒R²=OE²=(5·(-3))²/29²=225/841
(x-(-3))²+(y-0)²+(z-0)²=225/841⇒(x+3)²+y²+z²=225/841
2) 2x+21=5x
3x=21
x=7 ⇒ R²=OE²=(5·7)²/29²=1225/841
(x-7)²+(y-0)²+(z-0)²=1225/841⇒(x-7)²+y²+z²=1225/841