Question

Решить дифференциальное уравнение, найти общее решение:

(x-y)*y-x^2*y'=0

Answer 1

$(x-y)y-x^2y'=0$

Разделим уравнение на $x^2$:

$left(1-dfrac{y}{x} right)dfrac{y}{x}-y'=0$

Замена:

$dfrac{y}{x} =t\Rightarrow y=tx\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получим уравнение:

$(1-t)t-(t'x+t)=0$

$t-t^2-t'x-t=0$

$-t'x=t^2$

$-dfrac{xdt}{dx} =t^2$

$-dfrac{dt}{t^2} =dfrac{dx}{x}$

$-int dfrac{dt}{t^2} =intdfrac{dx}{x}$

$dfrac{1}{t} =ln|x|+ln C$

$dfrac{1}{t} =ln Cx$

$t=dfrac{1}{ln Cx}$

Обратная замена:

$dfrac{y}{x} =dfrac{1}{ln Cx}$

$y=dfrac{x}{ln Cx}$

Ответ: $y=dfrac{x}{ln Cx}$