Question

помогите найти интервалы монотонности функции

Answer 1

Монотонность функции f(x) на отрезке [a,b] определяется как:

f'(x)≥0 (или f'(x)≤0)  для любого x∈[a,b].

Найдем y'(x):

$y' = -frac{16}{x^2} + 1$

Найдем корни уравнения y'(x)=0.

$-frac{16}{x^2} + 1 = 0$

Это уравнение эквивалентно:

$x^2 = 16$.

Корни: x₁=4; x₂=-4.

При х<-4: y'(x) >0.

При -4<х<4: y'(x) <0.

При х>4: y'(x) >0.

Т.к. y(x) имеет асимптоту при x=0, в этой точке функция неопределена.

Таким образом, интервалы монотонности:

При x ∈(-∞;-4) и x ∈(4;∞) функция y(x) возрастает.

При x ∈(-4;0)∪(0;4) функция y(x) убывает.