Question

Вычислить предел при трёх значениях, которые представлены ниже (а,б,в).

Answer 1

$lim_{x to x_0} frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}$

a)  $x_0=1$

$lim_{x to 1} frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=frac{3*1^2-1-10}{7*1-1^2-10}=frac{3-1-10}{7-1-10}=frac{-8}{-4}=2$

Ответ:   $lim_{x to 1} frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=2$

б)  $x_0=2$

$lim_{x to 2} frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=(frac{0}{0})$

1) Разложим на множители числитель:

$3x^{2} -x-10=0$

$D=1-4*3*(-10)=121=11^2$

$x_1=frac{1-11}{6}=frac{-10}{6}=-frac{5}{3}$

$x_2=frac{1+11}{6}=frac{12}{6}=2$

$3x^{2} -x-10=3(x-2)(x+frac{5}{3})=(x-2)(3x+5)$

и знаменатель:

$-x^{2}+7x-10=0$

$x_1=2;x_2=5$

$-x^{2} +7x-10=-(x-2)(x-5)=(x-2)(5-x)$

2) Теперь вычисляем предел:

$lim_{x to 2} frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=lim_{x to 2} frac{(x-2)(3x+5)}{(x-2)(5-x)}=lim_{x to 2} frac{3x+5}{5-x}=frac{3*2+5}{5-2}=frac{11}{3}=3frac{2}{3}$

Ответ:   $lim_{x to 2} frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=3frac{2}{3}$

в) $x_0= infty}$

$lim_{x to infty} frac{3x^2-x-10}{7x-x^2-10}=(frac{infty}{infty})=lim_{x to infty} frac{3x^2-x-10}{-x^2+7x-10}=$

$=lim_{x to infty} frac{frac{3x^2-x-10}{x^2} }{frac{-x^2+7x-10}{x^2} }=lim_{x to infty} frac{frac{3x^2}{x^2}-frac{x}{x^2}-frac{10}{x^2}}{frac{-x^2}{x^2}+frac{7x}{x^2}-frac{10}{x^2}}=lim_{x to infty} frac{3-frac{1}{x}-frac{10}{x^2}}{-1+frac{7}{x}-frac{10}{x^2}}=frac{3-0-0}{-1+0-0}=$

$=frac{3}{-1}=-3$

Ответ:   $lim_{x to infty} frac{3x^2-x-10}{-x^2+7x-10}}=-3$

Answer 2

Удачи!