Question

Помогите, пожалуйста, с интегралами!

Answer 1

$displaystyleintlimits^1_0 x^2sqrt{1-x^2}dx=intlimits^frac{pi}{2}_0(sin^2tcos^2t)dt=frac{1}{4}intlimits^frac{pi}{2}_0sin^22tdt=frac{1}{4}intlimits^frac{pi}{2}_0sin^22tdt=\=frac{1}{4}intlimits^frac{pi}{2}_0(frac{1}{2}-frac{cos4t}{2})dt=frac{1}{8}intlimits^frac{pi}{2}_0dt-frac{1}{32}intlimits^frac{pi}{2}_0cos(4t)d(4t)=\=frac{1}{8}t|^frac{pi}{2}_0-frac{1}{32}sin(4t)|^frac{pi}{2}_0=frac{pi}{16}$

$displaystyle x=sint;dx=costdt\cos4t=cos^22t-sin^22t=1-2sin^22t\sin^22t=frac{1-cos4t}{2}$

$displaystyleintfrac{7x-4}{x^2-8x+25}dx=frac{7}{2}intfrac{2x-8+frac{48}{7}}{x^2-8x+25}dx=\=frac{7}{2}intfrac{2x-8}{x^2-8x+25}dx+24intfrac{dx}{x^2-8x+16+9}=\=frac{7}{2}intfrac{d(x^2-8x+25)}{x^2-8x+25}+8intfrac{d(frac{x-4}{3})}{frac{(x-4)^2}{9}+1}=\=frac{7}{2}ln|x^2-8x+25|+8arctgfrac{x-4}{3}+C\\(x^2-8x+25)'=2x-8$

Решение третьего задания вытекает из первого.