Question

Доказать тригонометрическое тождество

Answer 1

$cos(frac{pi}{7})*cos(frac{4pi}{7})*cos(frac{5pi}{7})$
Воспользуемся формулой  $sin2a=2sina*cosa$
тогда если на эту дробь умножить и поделить $2sinfrac{pi}{7}$ 
то получим 
$frac{cosfrac{pi}{7}*cosfrac{4pi}{7}*cosfrac{5pi}{7}*2sinfrac{pi}{7}}{2sinfrac{pi}{7}} =\ frac{sinfrac{2pi}{7}*cosfrac{4pi}{7}*cosfrac{5pi}{7}}{2sinfrac{pi}{7}}=$

Теперь если еще раз умножить и поделить дробь теперь уже на  $2cosfrac{2pi}{7}$, получим 
$frac{2*cosfrac{2pi}{7}*sinfrac{2pi}{7}*cosfrac{4pi}{7}*cosfrac{5pi}{7}}{4*cosfrac{2pi}{7}sinfrac{pi}{7}}=\ \ frac{sinfrac{4pi}{7}*cosfrac{4pi}{7}*cosfrac{5pi}{7}}{4*cosfrac{2pi}{7}*sinfrac{pi}{7}}=$

Теперь умножим и поделим на 2
$frac{2sinfrac{4pi}{7}*cosfrac{4pi}{7}*cosfrac{5pi}{7}}{8*cosfrac{2pi}{7}*sinfrac{pi}{7}}=\ frac{sinfrac{8pi}{7}*cosfrac{5pi}{7}}{8*cosfrac{2pi}{7}*sin frac{pi}{7}}=$

Тогда по формуле приведения 
$cos(frac{2pi}{7})=sinfrac{3pi}{14}\ sinfrac{pi}{7}=sinfrac{pi}{7}\ \ sinfrac{8pi}{7}=sinfrac{pi}{7}\ cosfrac{5pi}{7}=sin frac{3pi}{14}$
Теперь подставим и сократим получим 1/8