Question

На какую максимальную степень 19 делится без остатка число 2020!

Answer 1

Ответ: 111

Пошаговое объяснение:

Факториал числа n:

$n!=1cdot 2cdot 3cdot ...cdot (n-1)cdot n$

По определению факториала данное число можно представить как произведение последовательных натуральных чисел:

$2020!=1cdot 2cdot 3cdot ...cdot 2019cdot 2020$

Будем проверять на делимость множители в правой части. Выделим числа, кратные 19.

Если число кратно 19, то его можно представить как 19n (например 19, 2*19, 3*19, ...). Найдём наибольший множитель в правой части, представимый в таком виде:

$19n leq 2020\ \ n leq frac{2020}{19} \\ n leq 106frac{6}{19}$

Так как n ∈ N, то наибольшее n = 106 (соответствует множителю 2014).

Заметим, что n означает количество множителей в правой части, кратных 19: 19, 38, 3*19, 4*19, ..., 104*19, 105*19, 106*19. Всего их n = 106. Значит число 2020! разделится на 19¹⁰⁶ без остатка.

Однако, 19² = 361 < 2020, а значит среди множителей выше найдутся те, которые кратны 19 дважды, например число 19² = 361. Такие числа дадут возможность ещё раз поделить их без остатка на 19, то есть увеличат итоговый ответ. Они попадаются, когда n кратно 19 (19*19, 38*19, 57*19, ...). Найдём их количество.

Так как в этом случае n кратно 19, то n = 19m, получим:

$19mleq 106\ \ mleq frac{106}{19} \ \ mleq 5frac{11}{19}\ \ m=5$

Получается, что всего таких чисел 5 (361, 722, 1083, 1444, 1805). Значит если разделить 2020! ещё на 19⁵, то получится целое число. Итого:

$2020! : 19^{106} : 19^5 = 2020! : 19^{106+5}=2020!:19^{111}in Z$

Так как 19³ > 2020, то чисел кратных 19 трижды и более в числе 2020! не встречается. Иных кратных 19 множителей, которые не учли, нет.

Получаем, что число 2020! делится без остатка на 19 в 111 степени.