Question

Знайти подвійний інтеграл $intlimits intlimits_D {x}{ ln y} , dx dy$ по області D, обмеженій вказаними лініями: $xy=1$, $y=2$, y=$x^{2}$

Answer 1

В ході вирішення виходить дві області D. Для зручності знаходження інтегралів, висловимо всі графіки через змінну x.

$displaystyle I_1=intlimits_{D_1}xlnydxdy=intlimits^2_1lnydyintlimits^{sqrt{y}}_{frac{1}{y}}xdx=\=intlimits^2_1lny*dy*(frac{x^2}{2})|^{sqrt{y}}_{frac{1}{y}}=intlimits^2_1lny(frac{y}{2}-frac{1}{2y^2})dy=\=intlimits^2_1(frac{ylny}{2}-frac{lny}{2y^2})dy=(frac{y^2}{4}lny-frac{y^2}{8}+frac{lny}{2y}+frac{1}{2y})|^2_1=\=ln2-frac{1}{2}+frac{ln2}{4}+frac{1}{4}+frac{1}{8}-frac{1}{2}=frac{5}{4}ln2-frac{5}{8}=frac{5}{8}(2ln2-1)$

$displaystyleint ylnydy=frac{y^2}{2}lny-frac{1}{2}int ydy=frac{y^2}{2}lny-frac{y^2}{4}\u=lny;du=frac{dy}{y}\dv=ydy;v=frac{y^2}{2}\\intfrac{lny}{y^2}=-frac{lny}{y}+intfrac{dy}{y^2}=-frac{lny}{y}-frac{1}{y}\\u=lny;du=frac{dy}{y}\dv=frac{dy}{y^2};v=-frac{1}{y}$

$displaystyle I_2=intlimits_{D_{21}}xlnydxdy+intlimits_{D_{22}}xlnydxdy=\=intlimits^2_1lnydyintlimits^{frac{1}{y}}_{-sqrt y}xdx+(intlimits^1_0lnydyintlimits^{sqrt y}_{-sqrt y}xdx)_{to 0}=intlimits^2_1lnydy*frac{x^2}{2}|^frac{1}{y}_{-sqrt y}=\=intlimits^2_1lnydy*(frac{1}{2y^2}-frac{y}{2})=-intlimits^2_1lnydy*(frac{y}{2}-frac{1}{2y^2})=frac{5}{8}(1-2ln2)$

Графік областей D в додатку

Answer 2

Какое общее пересечение??? Согласно условий получается две отдельных области D, которые подпадают под условия. Не больше, не меньше

Answer 3

Мда... а сам то ты не поймешь этого?