Question

Помогите,пожалуйста, решить задачку по  геометрии..........Даны точки А(-1,2), В(1,-2), С(7,2). Найти основание биссектрисы АК и ее длину

Answer 1

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
$frac{BK}{KC}=frac{AB}{AC};$
$AB= sqrt{4+16}= sqrt{20}=2 sqrt{5};$
$AC= sqrt{64+0}= sqrt{64}=8;$
$frac{BK}{KC}= frac{ 2sqrt{5}}{8}=frac{ sqrt{5}}{4};$
координаты точки K, которая делит отрезок BC в отношении λ, выражаются формулами:
$x_K= frac{x_B+ lambda x_C}{1+ lambda};y_K= frac{y_B+ lambda y_C}{1+ lambda};$
$lambda= frac{ sqrt{5}}{4}; x_K= frac{1+ 7*frac{ sqrt{5}}{4}}{1+ frac{ sqrt{5}}{4}};y_K= frac{-2+ 2*frac{ sqrt{5}}{4}}{1+ frac{ sqrt{5}}{4}};$
$x_K= frac{4+ 7sqrt{5}}{4+sqrt{5}}=frac{(4+ 7sqrt{5})(4-sqrt{5})}{(4+sqrt{5})(4-sqrt{5})}=frac{16+28sqrt{5}-35-4sqrt{5}}{11}= frac{24sqrt{5}-19}{11};$
$y_K= frac{-8+ 2 sqrt{5}}{4+sqrt{5}}=frac{(-8+ 2 sqrt{5)}(4-sqrt{5})}{(4+sqrt{5})(4-sqrt{5}}= frac{-32+ 8 sqrt{5}-10+8sqrt{5}}{11}= frac{16sqrt{5}-42}{11};$

$AK^2=(frac{24sqrt{5}-19}{11}+1)^2+(frac{16sqrt{5}-42}{11}-2)^2=$
$=(frac{24sqrt{5}-8}{11})^2+(frac{16sqrt{5}-64}{11})^2=$
$=(frac{8}{11})^2 (3sqrt{5}-1)^2+ (frac{16}{11})^2 (sqrt{5}-4)^2=$
$=frac{64}{121} (45-6sqrt{5}+1)+ frac{256}{121}(5-8sqrt{5}+16)=$
$=frac{64}{121} (46-6sqrt{5})+ frac{256}{121}(21-8sqrt{5})=$
$=frac{64}{121}(46-6sqrt{5}+84-32sqrt{5})=frac{64}{121}(130-38sqrt{5})$