Question

Пожалуйстаааа, вычислить неопределенные интегралы методом замены переменной

Answer 1

$displaystyle intfrac{x^2dx}{sqrt{x^2+7}}=-7intfrac{1}{(t^2-1)^2}dt=\=-7int(-frac{1}{4(t-1)}+frac{1}{4(t-1)^2}+frac{1}{4(t+1)}+frac{1}{4(t+1)^2})dt=\=frac{7}{4}ln|t-1|+frac{7}{4(t-1)}-frac{7}{4}ln|t+1|+frac{7}{4(t+1)}+C=\=frac{7}{4}ln|frac{t-1}{t+1}|+frac{7t}{2(t^2-1)}+C=\=frac{7}{4}ln|frac{sqrt{x^2+7}-x}{sqrt{x^2+7}+x}|+frac{x}{2}sqrt{x^2+7}+C$

$displaystyle 1+frac{7}{x^2}=t^2to x^2=frac{7}{t^2-1}\sqrt{x^2+7}=sqrt{frac{7t^2}{t^2-1}}=frac{tsqrt7}{sqrt{t^2-1}}\x^2dx=-frac{7tsqrt7}{(t^2-1)^2sqrt{t^2-1}}dt\frac{1}{(t^2-1)^2}=frac{A}{t-1}+frac{B}{(t-1)^2}+frac{C}{t+1}+frac{D}{(t+1)^2}=\=-frac{1}{4(t-1)}+frac{1}{4(t-1)^2}+frac{1}{4(t+1)}+frac{1}{4(t+1)^2}\1=A(t^3+t^2-t-1)+B(t^2+2t+1)+C(t^3-t^2-t+1)+D(t^2-2t+1)\t^3|0=A+C\t^2|0=A+B-C+D\t|0=-A+2B-C-2D\t^0|1=-A+B+C+D\A=-frac{1}{4};B=frac{1}{4};C=frac{1}{4};D=frac{1}{4}$

$displaystyle intfrac{2x-3}{x^2-3x+2}dx=intfrac{d(x^2-3x+2)}{x^2-3x+2}=ln|x^2-3x+2|+C$