Question

Найти n производную:
f(x) = $frac{2}{1-3x^{2} }$

Answer 1

$f(x)=dfrac{2}{1-3x^2}$

Представим дробь $dfrac{2}{1-3x^2}$ в виде суммы дробей следующим образом:

$dfrac{2}{1-3x^2}=dfrac{a}{1-xsqrt{3} }+dfrac{b}{1+xsqrt{3} }$

Определим коэффициенты a и b. Для этого сложим дроби в правой части:

$dfrac{a}{1-xsqrt{3} }+dfrac{b}{1+xsqrt{3} }=dfrac{a(1+xsqrt{3})+b(1-xsqrt{3}) }{1-3x^2}=dfrac{a+axsqrt{3}+b-bxsqrt{3} }{1-3x^2}$

Рассмотрим равенство:

$dfrac{a+axsqrt{3}+b-bxsqrt{3} }{1-3x^2}=dfrac{2}{1-3x^2}$

Дроби равны, знаменатели равны, значит равны и числители.

$a+axsqrt{3}+b-bxsqrt{3}=2$

$(asqrt{3}-bsqrt{3})x+(a+b)=2$

Приравняем соответствующие коэффициенты при степенях:

$begin{cases} asqrt{3}-bsqrt{3}=0 \ a+b=2end{cases}$

$begin{cases} a-b=0 \ a+b=2end{cases}$

$2a=2\Rightarrow a=1\Rightarrow b=2-1=1$

Итак: $f(x)=dfrac{1}{1-xsqrt{3} }+dfrac{1}{1+xsqrt{3} }=(1-xsqrt{3})^{-1}+(1+xsqrt{3})^{-1}$

Производная суммы равна сумме производных.

Найдем производную для функции $f_1(x)=(1-xsqrt{3})^{-1}$

$f_1'(x)=(-1)cdot(1-xsqrt{3})^{-2}cdot(1-xsqrt{3})'=(-1)cdot(1-xsqrt{3})^{-2}cdot(-sqrt{3})\boxed{f_1'(x)=sqrt{3}cdot(1-xsqrt{3})^{-2}}$

$f_1''(x)=sqrt{3}cdot(-2)cdot(1-xsqrt{3})^{-3}cdot(1-xsqrt{3})'\f_1''(x)=sqrt{3}cdot(-2)cdot(1-xsqrt{3})^{-3}cdot(-sqrt{3})\boxed{f_1''(x)=2cdot(sqrt{3})^2cdot(1-xsqrt{3})^{-3}}$

$f_1'''(x)=2cdot(sqrt{3})^2cdot(-3)cdot(1-xsqrt{3})^{-4}cdot(1-xsqrt{3})'\f_1'''(x)=2cdot(sqrt{3})^2cdot(-3)cdot(1-xsqrt{3})^{-4}cdot(-sqrt{3})\boxed{f_1'''(x)=2cdot3cdot(sqrt{3})^3cdot(1-xsqrt{3})^{-4}}$

$f_1^{(4)}(x)=2cdot3cdot(sqrt{3})^3cdot(-4)cdot(1-xsqrt{3})^{-5}cdot(1-xsqrt{3})'\f_1^{(4)}(x)=2cdot3cdot(sqrt{3})^3cdot(-4)cdot(1-xsqrt{3})^{-5}cdot(-sqrt{3})\boxed{f_1^{(4)}(x)=2cdot3cdot4cdot(sqrt{3})^4cdot(1-xsqrt{3})^{-5}}$

$boxed{f_1^{(n)}(x)=n!cdot(sqrt{3})^ncdot(1-xsqrt{3})^{-(n+1)}}$

$boxed{boxed{f_1^{(n)}(x)=dfrac{n!cdot(sqrt{3})^n}{(1-xsqrt{3})^{n+1}}}}$

Аналогично, для второй функции $f_2(x)=(1+xsqrt{3})^{-1}$:

$f_2'(x)=(-1)cdot(1+xsqrt{3})^{-2}cdot(1+xsqrt{3})'=(-1)cdot(1+xsqrt{3})^{-2}cdot(sqrt{3})\boxed{f_2'(x)=-sqrt{3}cdot(1+xsqrt{3})^{-2}}$

$f_2''(x)=-sqrt{3}cdot(-2)cdot(1+xsqrt{3})^{-3}cdot(1+xsqrt{3})'\f_2''(x)=-sqrt{3}cdot(-2)cdot(1+xsqrt{3})^{-3}cdot(sqrt{3})\boxed{f_2''(x)=2cdot(sqrt{3})^2cdot(1+xsqrt{3})^{-3}}$

$f_2'''(x)=2cdot(sqrt{3})^2cdot(-3)cdot(1+xsqrt{3})^{-4}cdot(1+xsqrt{3})'\f_2'''(x)=2cdot(sqrt{3})^2cdot(-3)cdot(1+xsqrt{3})^{-4}cdot(sqrt{3})\boxed{f_2'''(x)=-2cdot3cdot(sqrt{3})^3cdot(1+xsqrt{3})^{-4}}$

$f_2^{(4)}(x)=-2cdot3cdot(sqrt{3})^3cdot(-4)cdot(1+xsqrt{3})^{-5}cdot(1+xsqrt{3})'\f_2^{(4)}(x)=-2cdot3cdot(sqrt{3})^3cdot(-4)cdot(1+xsqrt{3})^{-5}cdot(sqrt{3})\boxed{f_2^{(4)}(x)=2cdot3cdot4cdot(sqrt{3})^4cdot(1+xsqrt{3})^{-5}}$

$boxed{f_2^{(n)}(x)=(-1)^ncdot n!cdot(sqrt{3})^ncdot(1+xsqrt{3})^{-(n+1)}}$

$boxed{boxed{f_2^{(n)}(x)=(-1)^ncdotdfrac{n!cdot(sqrt{3})^n}{(1+xsqrt{3})^{n+1}}}}$

Искомая производная:

$f^{(n)}(x)=f^{(n)}_1(x)+f^{(n)}_2(x)$

$f^{(n)}(x)=dfrac{n!cdot(sqrt{3})^n}{(1-xsqrt{3})^{n+1}}+(-1)^ncdotdfrac{n!cdot(sqrt{3})^n}{(1+xsqrt{3})^{n+1}}$

$boxed{boxed{boxed{f^{(n)}(x)=n!cdot(sqrt{3})^ncdotleft(dfrac{1}{(1-xsqrt{3})^{n+1}}+dfrac{(-1)^n}{(1+xsqrt{3})^{n+1}right)}}}}$