Question

Дифференциальное уровнение первого порядка.
Помогите решить

Answer 1

$(x^2+xy+y^2)dx-xydy=0$

Разделим почленно на $x^2$:

$left(1+dfrac{y}{x} +dfrac{y^2}{x^2}right)dx-dfrac{y}{x}dy=0$

Разделим почленно на $dx$:

$1+dfrac{y}{x} +dfrac{y^2}{x^2}-dfrac{y}{x}cdotdfrac{dy}{dx} =0$

$1+dfrac{y}{x} +dfrac{y^2}{x^2}-dfrac{y}{x}cdot y'=0$

Замена:

$dfrac{y}{x}=t\Rightarrow y=tx\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

$1+t +t^2-tcdot(t'x+t)=0$

$1+t +t^2-xtt'-t^2=0$

$1+t-xtt'=0$

$xtt'=1+t$

$xtcdotdfrac{dt}{dx} =1+t$

$dfrac{t}{1+t}dt=dfrac{dx}{x}$

$left<dfrac{t}{1+t}=dfrac{1+t-1}{1+t}=1-dfrac{1}{1+t}right>$

$left(1-dfrac{1}{1+t}right)dt=dfrac{dx}{x}$

$int left(1-dfrac{1}{1+t}right)dt=intdfrac{dx}{x}$

$t-ln|1+t|=ln|x|+ln C$

$t=ln|x|+ln C+ln|1+t|$

$t=ln left(Cx(1+t)right)$

Обратная замена:

$dfrac{y}{x} =ln left(Cxleft(1+dfrac{y}{x}right)right)$

$dfrac{y}{x} =ln left(Cleft(x+yright)right)$

$boxed{Cleft(x+yright)=e^{frac{y}{x} }}$ - общее решение

Подставим данные по условию $y(1)=0$:

$Cleft(1+0right)=e^{frac{0}{1} }$

$C=1$

$boxed{x+y=e^{frac{y}{x} }}}$ - частное решение