Question

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
x(y'' + 1)+y'=0

Answer 1

$displaystyle x(y''+1)+y'=0\y'=z;y''=z'\x(z'+1)+z=0\xz'+z=-x\frac{xdz}{dx}+z=0\frac{xdz}{dx}=-z\frac{dz}{z}=-frac{dx}{x}\ln|z|=-ln|x|+C(x)\z=frac{C(x)}{x}\z'=frac{C'(x)}{x}-frac{C(x)}{x^2}\C'(x)-frac{C(x)}{x}+frac{C(x)}{x}=-x\C'(x)=-x\C(x)=-frac{x^2}{2}+C_1\z=-frac{x}{2}+frac{C_1}{x}=y'\y=-frac{x^2}{4}+C_1ln|x|+C_2$