Question

Помогите с интегралами. 20балов
Нужно вычислить интеграл подробно

Answer 1

Ответ:  $frac{1}{3}$

Пошаговое объяснение:

$intlimits^{+infty}_0 {frac{dx}{(3x+1)^2} }= lim_{n to infty} {intlimits^{n}_0 {frac{dx}{(3x+1)^2} }}$

Вычислим интеграл:

$intlimits^{n}_0 {frac{dx}{(3x+1)^2} }\\t=3x+1 , , , , , , , , , , , , , dt=3dx , , , , , , , , , , , , ,dx=dt/3\\int {frac{dx}{(3x+1)^2} }=int {frac{dt}{3t^2} }=frac{1}{3} int {t^{-2}dt}=-frac{1}{3t}+C\\intlimits^{n}_0 {frac{dx}{(3x+1)^2} }=-frac{1}{3(3x+1)} bigg|limits^{n}_0=-(frac{1}{9n+3} -frac{1}{3})=frac{n}{3n+1}$

Вернемся к пределу:

$intlimits^{+infty}_0 {frac{dx}{(3x+1)^2} }= lim_{n to infty} {intlimits^{n}_0 {frac{dx}{(3x+1)^2} }} = lim_{n to infty}{frac{n}{3n+1}}=frac{1}{3}$