Question

Применяя указанные подстановки, вычислить следующие интегралы:

Answer 1

Ответ:  $frac{pi}{sqrt{5}}$

Объяснение:

$tgfrac{t}{2}=z \\frac{t}{2}=arctgz , , , , , , , , t=2artcgz\\dt=frac{2dz}{1+z^2} \\cost=frac{1-tg^2frac{t}{2} }{1+tg^2frac{t}{2}} =frac{1-z^2}{1+z^2} \\int {frac{dt}{3+2cost} }=int frac{frac{2dz}{1+z^2}}{3+2frac{1-z^2}{1+z^2}} =int frac{frac{2dz}{1+z^2}}{frac{5+z^2}{1+z^2}}=2int frac{dz}{z^2+5}=frac{2}{sqrt{5}} artcgfrac{z}{sqrt{5}} +C=$

$frac{2}{sqrt{5}} artcgfrac{tgfrac{t}{2} }{sqrt{5}}+C$

Вычислим определенный интеграл:

$intlimits^{pi}_0 {frac{dt}{3+2cost}} =frac{2}{sqrt{5}} artcgfrac{tgfrac{pi}{2} }{sqrt{5}}-frac{2}{sqrt{5}} artcgfrac{tgfrac{0}{2} }{sqrt{5}}$

$lim tgfrac{pi}{2}=infty$ . Мы имеем дело с несобственным интегралом 2 рода. Определим его сходимость:

$lim_{epsilon to 0}{frac{2}{sqrt{5}} artcgfrac{tgfrac{pi}{2}-epsilon }{sqrt{5}}-frac{2}{sqrt{5}} artcgfrac{tgfrac{0}{2} }{sqrt{5}}}=frac{pi}{sqrt{5}}$