Question

ПОМОГИТЕ СКОРЕЕ, ПОЖАЛУЙСТА!
В треугольнике KPE сторона PE=6. На стороне KE отмечена точка F так, что PF=KF=3√3, FE=3 . Найдите углы треугольника .
угол K=?

Answer 1

∠ Р-м ΔFEP:

Сторона FE меньше за сторону EP в два раза. Проверим, не является ли этот треугольник прямоугольным с углом в 30°, учитывая, что FP<EP.

$EP^2=EF^2+FP^2\6^2 = 3^2+(3sqrt{3})^2\36=9+25\36=36$

Квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов остальных сторон ⇒  ΔFEP — прямоугольный, ∠EFP = 90°, т.к. лежит напротив гипотенузы.

Если катет треугольника лежит напротив угла в 30°, то он равен половине гипотенузы. Используем это свойство в обратную сторону:

Если катет меньше гипотенузы в два раза, тогда он лежит против угла в 30°. Катет FE = 1/2 гипотенузы EP ⇒ ∠EPF = 30°. Тогда по теореме о сумме углов треугольника ∠FEP (∠E) = 180−(90+30) = 60°.

Р-м ΔKFP:

∠KFP = 90°, т.к. смежный с прямым углом ∠EFP. KF = PF — по условию ⇒ равнобедренный, следовательно ∠FKP (∠K) = FPK = (180−90)/2 = 45°.

Р-м ΔKEP:

∠E = 60°, ∠K = 45°  ⇒  ∠P = 180−(60+45) =75°

Ответ: Углы треугольника равны 60°, 45° и 75°.