Question

Уравнение 5a*sin2x=tgx+ctgx имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда

Answer 1

$5asin2x=mathrm{tg},x+mathrm{ctg},x$

$5asin2x=dfrac{sin x}{cos x} +dfrac{cos x}{sin x}, sin xcos xneq 0Rightarrow xneq dfrac{pi n}{2} , nin mathbb{Z}$

$5asin2x=dfrac{sin^2x+cos^2x}{sin xcos x}$

$dfrac{5a}{2}sin2x=dfrac{sin^2x+cos^2x}{2sin xcos x}$

$dfrac{5a}{2}sin2x=dfrac{1}{sin2x}$

$dfrac{5a}{2}sin^22x=1$

$sin^22x=dfrac{2}{5a}$

Уравнение будет иметь корни, если квадрат синуса принимает значения из отрезка $[0; 1]$. Но синус не может равняться 0, как было отмечено ранее. Значит, допустимые значения квадрата синуса:

$sin^22xin(0; 1]$

$0<dfrac{2}{5a}leq 1$

$0<dfrac{1}{a}leq dfrac{5}{2}$

$ageqdfrac{2}{5}$

Ответ: $ainleft[dfrac{2}{5};+inftyright)$