Question

Помогите пожалуйста найти общее решение(общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка xy'=y+3x sin(y/x)

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Для однородных дифференциальных уравнений всегда осуществляется замена $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$. Получаем :

$x(u'x+u)=ux+3xsin dfrac{ux}{x}\ \ x=0;~~~ u'x+u=u+3sin u\ \ u'x=3sin u$

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя обе части уравнения, мы получим

$displaystyle int dfrac{du}{sin u}=int dfrac{3dx}{x}~~~Rightarrow~~~ int dfrac{sin u}{sin^2u}du=3int dfrac{dx}{x}\ \ \ -int dfrac{d(cos u)}{1-cos^2u}=3int dfrac{dx}{x}~~Rightarrow~~ -dfrac{1}{2}lnBigg|dfrac{1+cos u}{1-cos u}Bigg|=3ln |x|+ln C$

$lnBigg|dfrac{1-cos u}{1+cos u}Bigg|=lnleft|Cx^6right|\ \\ dfrac{1-cos u}{1+cos u}=Cx^6$

Выполним обратную замену

$dfrac{1-cos frac{y}{x}}{1+cos frac{y}{x}}=Cx^6$ — общий интеграл