Question

Найти определённый интеграл, методом интегрирования по частям

Answer 1

Ответ:

$7.05a^3sqrt[3]{a}$

Пошаговое объяснение:

$u=x^2 \ du=2xdx \ dv=frac{xdx}{sqrt[3]{a^2+x^2} }\ \ v=int frac{xdx}{sqrt[3]{a^2+x^2} }=int frac{d(x^2/2)}{({a^2+x^2} )^{1/3}}=frac{1}{2} int (a^2+x^2)^{-frac{1}{3} }d(a^2+x^2)=frac{1}{2}frac{(a^2+x^2)^{2/3}}{2/3}= \ \ =frac{3}{4} (a^2+x^2)^{2/3}$

Интегрирование по частям:

$int udv=uv-int vdu$

$intlimits^{asqrt{7}}_0 {frac{x^3dx}{sqrt[3]{a^2+x^2} } } =frac{3x^2}{4}(a^2+x^2)^{2/3} | ^{asqrt{7}}_0 - intlimits^{asqrt{7}}_0frac{3}{4} (a^2+x^2)^{2/3}*2x dx= \ \ =frac{3(asqrt{7})^2}{4}(a^2+(asqrt{7})^2)^{2/3}-0-frac{3}{4} intlimits^{asqrt{7}}_0(a^2+x^2)^{2/3} d(a^2+x^2)= \ \ =frac{21a^2}{4} (a^2+7a^2)^{2/3}-frac{3}{4} frac{(a^2+x^2)^{5/3}}{5/3}| ^{asqrt{7}}_0=frac{21a^2}{4} (8a^2)^{2/3}-frac{9}{20} (a^2+x^2)^{5/3}| ^{asqrt{7}}_0$

$frac{21a^2}{4} (2a^{4/3})-frac{9}{20} [(a^2+(asqrt{7})^2)^{5/3}-(a^2)^{5/3}]=21a^{10/3}-frac{9}{20}[(8a^2)^{5/3}-\ \ -(a^2)^{5/3}]=21a^{10/3}-frac{9}{20}(32a^{10/3}-a^{10/3})=21a^{10/3}-frac{9}{20}*31a^{10/3}=\ \ =frac{141}{20} a^{10/3}=frac{141}{20}a^3sqrt[3]{a} =7.05a^3sqrt[3]{a}$