Question

Помогите решить ду
(x^2+2xy)dx+xydy=0

Answer 1

$(x^2+2xy)dx+xydy=0$

Разделим почленно на $x^2$:

$left(1+2cdotdfrac{y}{x}right)dx+dfrac{y}{x} cdot dy=0$

Разделим также на $dx$:

$1+2cdotdfrac{y}{x}+dfrac{y}{x} cdot y'=0$

Замена: $dfrac{y}{x} =t$

$y=tx$

$y=t'x+tx'=t'x+t$

Уравнение примет вид:

$1+2t+t(t'x+t)=0$

$dfrac{1}{t} +2+t'x+t=0$

$t'x=-t-2-dfrac{1}{t}$

$xcdotdfrac{dt}{dx} =-dfrac{t^2+2t+1}{t}$

$dfrac{tdt}{(t+1)^2} =-dfrac{dx}{x}$

$intdfrac{tdt}{(t+1)^2} =-intdfrac{dx}{x}$

Проинтегрируем отдельно левую часть, используя замену:

$intdfrac{tdt}{(t+1)^2} =left<begin{array}{c} t+1=y\ t=y-1\dt=dy end{array}right>=intdfrac{(y-1)dy}{y^2} =intdfrac{ydy}{y^2} -intdfrac{dy}{y^2} =\=intdfrac{dy}{y} +dfrac{1}{y}=ln|y|+dfrac{1}{y} +C=ln|t+1|+dfrac{1}{t+1} +C$

Значит:

$ln|t+1|+dfrac{1}{t+1}=-ln|x|+ln C$

Обратная замена:

$lnleft|dfrac{y}{x} +1right|+dfrac{1}{dfrac{y}{x}+1}=lndfrac{C}{x}$

$dfrac{1}{dfrac{y}{x}+1}=lndfrac{C}{x}-lnleft|dfrac{y}{x} +1right|$

$dfrac{x}{y+x}=lndfrac{C}{x}-lnleft|dfrac{y+x}{x}right|$

$boxed{dfrac{x}{y+x}=lndfrac{C}{y+x}}$