Question

Задание на фотографии

Answer 1

Исследовать на сходимость ряд    $sumlimits_{n=2}^{infty} dfrac1{nln(2n)}$

$1) ngeq 2 Rightarrow 2ngeq 4\\~~Rightarrow ln (2n)geq ln 4>ln e>ln 1=0~~~Rightarrow~~~boldsymbol{dfrac 1{nln (2n)}>0}$

Следовательно,   $sumlimits_{n=2}^{infty} dfrac1{nln(2n)}$   положительный  числовой ряд.

2) Чтобы ряд сходился, необходимо  (но не достаточно), чтобы его общий член стремился к нулю :

$limlimits_{nrightarrowinfty} a_n=limlimits_{nrightarrowinfty} dfrac 1{nln(2n)}=dfrac 1{+infty}=0$

3) Интегральный признак Коши :

 Если несобственный интеграл   $displaystyleint limits_2^{+infty}dfrac {dx}{xln(2x)}$  сходится (в результате вычислений получится число), то будет сходиться числовой ряд   $sumlimits_{n=2}^{infty} dfrac1{nln(2n)}$ .

 Если несобственный интеграл   $displaystyleint limits_2^{+infty}dfrac {dx}{xln(2x)}$  расходится (в результате вычислений получится бесконечность), то будет расходиться числовой ряд   $sumlimits_{n=2}^{infty} dfrac1{nln(2n)}$ .

4) Подынтегральная функция непрерывна на интервале [2;+∞).

$displaystyleint limits_2^{+infty}dfrac {dx}{xln(2x)}=int limits_2^{+infty}dfrac {dbig(2xbig)}{2xln(2x)}=int limits_2^{+infty}dfrac {dbig(ln (2x)big)}{ln(2x)}=\\\=limlimits_{brightarrow +infty}Big(lnln(2x)Big) Big|_2^{b}=limlimits_{brightarrow +infty}Big(lnln(2cdot b)^{rightarrow +infty}-ln ln 4Big)=+infty$

Ответ : ряд расходится