Question

Решите уравнение:
sin2x+4sinx+4cosx-5=0

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Шаг 1: преобразуем уравнение.

$sin2x+4sin x+4cos x-5=0\sin 2x+4(sin x+cos x)-5=0$

Шаг 2: выполним замену.

Замена:

$t=sin x+cos x\t^2=1+sin 2x; =>; sin 2x=t^2-1$

ОДЗ для буквы t:

$sin x+cos x=sqrt{2}left(sin xcosdfrac{pi}{4}+sin dfrac{pi}{4}cos xright)=sqrt{2}sinleft(x+dfrac{pi}{4}right)$

Sin дает значения от -1 до 1 включительно. Если умножить их на $sqrt{2}$, то получится, что $tinleft[-sqrt{2};; sqrt{2}right]$,

Шаг 3: решим квадратное уравнение.

Продолжим решение:

$t^2-1+4t-5=0\t^2+4t-6=0\sqrt{dfrac{D}{4}}=sqrt{4+6}=sqrt{10}\t_{1,2}=-2pmsqrt{10}$

Рассмотрим корень $-2-sqrt{10}approx-5.16$ (а вообще понятно, что само число больше, чем корень из него, а тут мы еще корень из 10 вычитаем). Он посторонний, так как выше мы доказали, что $tinleft[-sqrt{2};; sqrt{2}right]$. Другой корень посторонним не является. Значит работать будем только с ним.

Шаг 4: обратная замена.

Обратная замена:

$t=-2+sqrt{10},; sin x+cos x=-2+sqrt{10}$

Выше уже узнавали значение суммы sin и cos через одну тригонометрическую функцию. Поэтому пишу сразу:

$sqrt{2}sinleft(x+dfrac{pi}{4}right)=-2+sqrt{10}\sinleft(x+dfrac{pi}{4}right)=dfrac{-2+sqrt{10}}{sqrt{2}}\sinleft(x+dfrac{pi}{4}right)=sqrt{5}-sqrt{2}$

Полученное уравнение можно без труда решить следующим образом:

$left[begin{array}{c}x+dfrac{pi}{4}=arcsinleft(sqrt{5}-sqrt{2}right)+2npi,; nin Z\x+dfrac{pi}{4}=pi-arcsinleft(sqrt{5}-sqrt{2}right)+2npi,; nin Zend{array}right;\left[begin{array}{c}x=-dfrac{pi}{4}+arcsinleft(sqrt{5}-sqrt{2}right)+2npi,; nin Z\x=dfrac{3pi}{4}-arcsinleft(sqrt{5}-sqrt{2}right)+2npi,; nin Zend{array}right;$

$left[begin{array}{c}x=arcsinleft(sqrt{5}-sqrt{2}right)-dfrac{pi}{4}+2npi,; nin Z\x=-arcsinleft(sqrt{5}-sqrt{2}right)+dfrac{3pi}{4}+2npi,; nin Zend{array}right;$

Уравнение решено!

Answer 2

Спасибо!!!