Question

!!!СРОЧНО!!!Доказать сходимость числового ряда и найти его сумму

Answer 1

$1) sumlimits_{n=1}^inftydfrac{2n-1}{n^2}=2sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{n}-sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{n^2}$

$sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{n}$ расходится как гармонический, $sumlimits_{n=1}^inftydfrac{1}{n^2}$ сходится как обобщенный гармонический с $k=2$ => исходный ряд расходится

$2) limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{dfrac{2n-1}{e^n}}=dfrac{1}{e}<1$ а значит ряд сходится по радикальному признаку Коши.

$S= sumlimits_{n=1}^infty nx^n,;;;;;x=dfrac{1}{e}\ S(1-x)=sumlimits_{n=1}^infty nx^n(1-x)=sumlimits_{n=1}^infty nx^n-sumlimits_{n=2}^infty (n-1)x^n=sumlimits_{n=1}^infty nx^n-sumlimits_{n=1}^infty (n-1)x^n=\ =sumlimits_{n=1}^infty x^n\ x=dfrac{1}{e}:;;;; S(1-dfrac{1}{e})=sumlimits_{n=1}^infty dfrac{1}{e^n}=dfrac{frac{1}{e}}{1-frac{1}{e}}=>S=dfrac{frac{1}{e}}{(1-frac{1}{e})^2}=dfrac{e}{(1-e)^2}$

$=>sumlimits_{n=1}^inftydfrac{2n-1}{e^n}=2dfrac{e}{(1-e)^2}-dfrac{1}{e-1}=dfrac{2e+(1-e)}{(1-e)^2}=dfrac{e+1}{(1-e)^2}$