Question

интервал (-∞:-4) является одним из решений неравенства |х2+5х+6| - 2х>a. Найди значение а и полное решение данного неравенства.

Answer 1

$|x^{2} + 5x + 6| - 2x > a$

Анализируем: решение квадратного неравенства только вида $ax^{2} + bx + c > 0, a > 0,$ может содержать промежуток $x in (- infty; x_{1} ) cup (x_{2}; +infty),$ где $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ — корни квадратного уравнения $ax^{2} + bx + c = 0, a > 0.$

Раскроем модуль. Для этого воспользуемся правилом: $|x| = displaystyle left { {{x, x geq 0 } atop {-x, x < 0}} right.$

1) Пусть $x^{2} + 5x + 6 geq 0$

$x^{2} + 5x + 6 = 0$

$x_{1} = -3; x_{2} = -2$ — абсциссы точек пересечения с осью абсцисс.

$x in (-infty; -3] cup [-2; +infty)$

Тогда $x^{2} + 5x + 6 - 2x > a$

$x^{2} + 3x + 6 - a > 0$

$x^{2} + 3x + 6 - a = 0$

$D = 3^{2} - 4 cdot (6 - a) = 9 - 24 + 4a = 4a - 15$

$x_{1,2} = dfrac{-3 pm sqrt{4a - 15} }{2}$

Решением исходного неравенства будет $left[begin{array}{ccc}x < dfrac{-3 - sqrt{4a - 15} }{2} \ \x > dfrac{-3 + sqrt{4a - 15} }{2}\end{array}right$

Следовательно, зная интервал $x in (-infty; -4)$, определим значение параметра $a$:

$dfrac{-3 - sqrt{4a - 15} }{2} = -4$

$-3 - sqrt{4a - 15} } =-8$

$sqrt{4a - 15} } = 5$

$4a - 15 = 25$

$4a = 40$

$a = 10$

Таким образом, $x_{1} = dfrac{-3 - sqrt{4 cdot 10 - 15} }{2} = -4$ и $x_{2} = dfrac{-3 + sqrt{4 cdot 10 - 15} }{2} = 1$

Решение: $x in (- infty; -4) cup (1; +infty)$

При пересечении условия модуля $x in (-infty; -3] cup [-2; +infty)$ получаем окончательное решение: $x in (- infty; -4) cup (1; +infty)$ при $a = 10$

2) Если $x^{2} + 5x + 6 < 0$, то получаем $-(x^{2} + 5x + 6) - 2x > a$ с отрицательным коэффициентом перед $x^{2}$: это означает, что решением квадратного неравенства вида $ax^{2} + bx + c > 0, a < 0,$ будет промежуток $x in (x_{1}; x_{2})$, где $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ — корни квадратного уравнения $ax^{2} + bx + c = 0, a < 0.$ Этот случай нас не устраивает.

Ответ: $x in (- infty; -4) cup (1; +infty)$ при $a = 10$