Question

Нужно срочно решить примеры

1)sin2x+5(sin+cosx+1)=0

2)Sin2x+3=3sinx+3cosx

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$sin 2x+5(sin x+cos x+1)=0$

Здесь нужно увидеть достаточно интересную замену.

Пусть:

$sin x+cos x=t$

Напишем ОДЗ для буквы t:

$sin x+cos x=sqrt{2}(sin xcosdfrac{pi}{4}+sindfrac{pi}{4}cos x)=sqrt{2}sin(x+dfrac{pi}{4})$

Значит $tin[-sqrt{2};; sqrt{2}]$

Теперь возведем обе части в квадрат и получим:

$t^2=1+sin 2x\sin 2x=t^2-1$

Продолжим решение:

$t^2+5t+4=0\t^2+t+4t+4=0\t(t+1)+4(t+1)=0\(t+1)(t+4)\t=-1\t=-4$

Корень -4 не подходит по ОДЗ.

Тогда выполним обратную замену:

$sin x+cos x = -1\sin(x+dfrac{pi}{4})=-dfrac{sqrt{2}}{2}$

(см. выше почему сразу такой переход)

$x=dfrac{3pi}{2}+2npi,; nin Z\x=2+2npi,; nin Z$

Уравнение решено.

Второе решается аналогично! Пишу краткое решение:

$sin 2x+3=3(sin x+cos x)\t^2-3t+2=0,; tin[-sqrt{2}; sqrt{2}]\t=1\t=2\sin x+cos x=1\sin(x+dfrac{pi}{4})=dfrac{sqrt{2}}{2}\x=2npi,; nin Z\x=dfrac{pi}{2}+2npi,; nin Z$

Уравнение решено.