Question

ребят помогите сделать номер 8.20. буду очень благодарен

Answer 1

Здесь можно воспользоваться разложением в ряд Маклорена экспоненциальных функций до 4 члена. Остальные члены будут бесконечно малыми более высокого порядков и не будут влиять на ответ в пределе.

$lim_{x to 0} frac{e^{3x}-e^{2x}-x}{x^2}=$

$=lim_{x to 0} frac{(1+frac{3x}{1!}+frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3))-(1+frac{2x}{1!}+frac{(2x)^2}{2!}+O(x^3))-x}{x^2}=$

$=lim_{x to 0} frac{1+frac{3x}{1!}+frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3)-1-frac{2x}{1!}-frac{(2x)^2}{2!}-O(x^3)-x}{x^2}=$

Сократим в числителе единицу,

$=lim_{x to 0} frac{frac{3x}{1!}+frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3)-frac{2x}{1!}-frac{(2x)^2}{2!}-O(x^3)-x}{x^2}=$

$=lim_{x to 0} frac{3x+frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3)-2x-frac{(2x)^2}{2!}-O(x^3)-x}{x^2}=$

В числителе сократим члены при х. Останутся члены при $x^2$  и $O(x^3)$

$=lim_{x to 0} frac{frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3)-frac{(2x)^2}{2!}-O(x^3)}{x^2}=$

$=lim_{x to 0} frac{frac{9x^2}{2!}+O(x^3)-frac{4x^2}{2!}-O(x^3)}{x^2}=$

$=lim_{x to 0} frac{frac{9x^2}{2}+O(x^3)-frac{4x^2}{2}-O(x^3)}{x^2}=$

$=lim_{x to 0} frac{frac{9x^2}{2}-frac{4x^2}{2}+O(x^3)-O(x^3)}{x^2}=$

$=lim_{x to 0} frac{frac{9x^2-4x^2}{2}+O(x^3)-O(x^3)}{x^2}=$

$=lim_{x to 0} frac{frac{5x^2}{2}+O(x^3)-O(x^3)}{x^2}=$

$=lim_{x to 0} frac{frac{5x^2}{2}}{x^2}+lim_{x to 0} frac{O(x^3)}{x^2}-lim_{x to 0} frac{O(x^3)}{x^2}=$

Заметим, что два последних члена равны 0. Так как порядок стремления к нулю у числителя больше, чем у знаменателя.

$=lim_{x to 0} frac{frac{5x^2}{2}}{x^2}=frac{5}{2}=2,5$

Ответ: 2,5.
Заметим, что члены при $O(x^3)$ можно отбросить. Так как при делении на