Question

Из вершины прямого угла проведена биссектриса, делящая гипотенузу на отрезки а и b. Чему равна эта биссектриса?

Answer 1

Пусть дан треугольник АВС с прямым углом А, в котором проведена биссектриса АЕ, длину которой нужно найти.

Биссектриса треугольника делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Запишем пропорцию:

$rm{dfrac{AB}{BE}= dfrac{AC}{CE}}$

$mathrm{dfrac{AB}{AC}= dfrac{BE}{CE}}=dfrac{a}{b}$

Пусть $mathrm{AC}=x$. Тогда $mathrm{AB}=dfrac{a}{b} x$.

Запишем теорему Пифагора для треугольника АВС:

$rm{AB^2+AC^2=BC^2}$

$left(dfrac{a}{b} xright)^2+x^2=(a+b)^2$

$dfrac{a^2}{b^2}cdot x^2+x^2=(a+b)^2$

$left(dfrac{a^2}{b^2}+1right)cdot x^2=(a+b)^2$

$x^2=dfrac{(a+b)^2}{dfrac{a^2}{b^2}+1}$

$x^2=dfrac{b^2(a+b)^2}{a^2+b^2}$

$x=dfrac{b(a+b)}{sqrt{a^2+b^2} }$

Значит:

$mathrm{AC}=dfrac{b(a+b)}{sqrt{a^2+b^2} }$

$mathrm{AB}=dfrac{a}{b}cdot dfrac{b(a+b)}{sqrt{a^2+b^2} }=dfrac{a(a+b)}{sqrt{a^2+b^2} }$

Запишем теорему синусов для треугольника АЕС:

$rm{dfrac{AE}{sin C} =dfrac{EC}{sin EAC} }$

Так как АЕ - биссектриса, то ЕАВ и ЕАС равны по половине прямого угла, то есть по 45°.

Синус угла С определим как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$rm{sin C=dfrac{AB}{BC} }$

Теперь можем найти биссектрису:

$rm{AE =dfrac{ECcdotsin C}{sin EAC} }$

$rm{AE =dfrac{ECcdot AB }{BC cdotsin EAC} }$

$mathrm{AE} =dfrac{bcdotdfrac{a(a+b)}{sqrt{a^2+b^2} } }{(a+b) cdotsin 45^circ}=dfrac{dfrac{ab}{sqrt{a^2+b^2} } }{ sin 45^circ} }=dfrac{dfrac{ab}{sqrt{a^2+b^2} } }{dfrac{1}{sqrt{2} } }=dfrac{absqrt{2}}{sqrt{a^2+b^2}}$

Ответ: $dfrac{absqrt{2}}{sqrt{a^2+b^2}}$