Question

Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12см. Найти гипотенузу треугольника, длину высоты опущенной на гипотенузу и проекцию катетов на гипотенузу

Answer 1

Обозначим катеты за a = 9 см, b = 12 см , гипотенузу за c, высоту за h, проекции катетов на гипотенузу за ca и ba.

Исходя из т. Пифагора, следует:

    $c^2=a^2+b^2 => c=sqrt{a^2+b^2} \c = sqrt{9^2+12^2}= sqrt{81+144} = sqrt{225} = 15 :: (cm)$

Найдет площадь прямоугольного треугольника:

    $S = frac{acdot b}{2} \S = frac{9cdot 12}{2} = 9cdot 6 = 54 :: (cm^2)$

Воспользуемся формулой площади треугольника через высоту и выразим из нее высоту:

    $S = frac{hcdot c_h}{2} => 2S = hcdot c_h => h = frac{2S}{c_h} \h = frac{2cdot 54}{15} = frac{108}{15}= 7frac{3}{15} =7frac{1}{5}=7,2 :: (cm)$

Проекции катетов будут равны:

   $ca = sqrt{a^2-h^2} \ca = sqrt{9^2-7,2^2} = sqrt{81-51,84}= sqrt{29,16} = 5,4 :: (cm) \\cb = sqrt{b^2-h^2} \cb = sqrt{12^2-7,2^2} = sqrt{144-51,84}= sqrt{92,16} = 9,6 :: (cm)$

   или  $cb = c-ca = 15-5,4 = 9,6 :: (cm)$

—————————————————————————————

Высоту и проекции катетов также можно найти через пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:

– высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

    $h^2 = cacdot cb => h=sqrt{cacdot cb}$

– катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

    $a^2 = cacdot c = > ca = frac{a^2}{c} \b^2 = cbcdot c = > cb = frac{b^2}{c}$

—————————————————————————————

    $ca=frac{9^2}{15} = frac{81}{15} = 5,4 :: (cm) \\cb=frac{12^2}{15} = frac{144}{15} = 9,6 :: (cm) \\h=sqrt{5,4cdot 9,6} =sqrt{51,84} = 7,2 :: (cm)$

Ответ: гипотенуза равна 15 см, высота — 7,2 см, проекции катетов — 5,4 см и 9,6 см.