Ответы
1) Несмотря на усталость, Анатолий был радостно возбуждён.
Запятая, т.к. "Несмотря на усталость" - деепричастный оборот.
В этом предложении обстоятельства - радостно и несмотря на усталость. Способы выражения: через наречие и через деепричастие
2) Несмотря на поздний час, в деревне не спали.
Запятая, т.к. "Несмотря на поздний час" - деепричастный оборот
В этом предложении обстоятельства - несмотря на поздний час и деревне. Способы выражения: через деепричастие и через существительное
3) Голос у него, несмотря на хрипоту, был зычный и грубый
Запятая, т.к. "несмотря на хрипоту" - деепричастный оборот.
В этом предложении обстоятельство - несмотря на хрипоту. Способ выражения: через деепричастие
4) С этого дня, несмотря на разницу возрастов и положений, между ними установилась искренняя дружба.
Запятая, т.к. "несмотря на разницу возрастов и положений" - деепричастный оборот
В этом предложении обстоятельства - с этого дня и несмотря на разницу возрастов и положений. Способы выражения: через синтаксически неделимое словосочетание и через деепричастие