Question

Высшая математика. Интеграл

Answer 1

Ответ: (e-1)/3

Пошаговое объяснение:

Найдём неопределённый интеграл функции e^(x^3)*x^2 чтобы использовать фундаментальную теорему исчисления.

                                            $int{e^{x^{3} }x^2 } , dx$.

Пусть $u=x^3$, тогда $x=sqrt[3]{u}$.

                              $du = 3x^2dx \ dx = frac{du}{3x^2} = frac{du}{3(sqrt[3]{u} )^{2}} = frac{du}{3u^{2/3}}$

Делаем подстановку в наше изначальное выражение:

                                      $int{e^{x^{3}}x^2dx}=int{e^{u}(sqrt[3]{u})^{2}frac{du}{3u^{2/3}} } = int{ e^uu^{2/3}frac{du}{3u^{2/3}} }$

Здесь $u^{2/3}$ сокращаются и мы имеем $int{e^ufrac{du}{3}}$. Выносим $frac{1}{3}$ за интеграл: $frac{1}{3} int{e^u} , du$. Теперь мы имеем знакомый интеграл, который равняется $frac{1}{3} (e^{u}+C)$, тоже самое что $frac{1}{3} e^u+C$. Подставляем $u=x^3$ и имеем $frac{1}{3}e^{x^3}+C$. Используем фундаментальную теорему исчисления:

$intlimits^1_0 {e^{x^3} x^2} = frac{1}{3} e^{x^3}]_0^1=frac{1}{3} e^{1^3}-frac{1}{3} e^{0^3}=frac{1}{3} e^1-frac{1}{3} e^0=frac{1}{3} e-frac{1}{3}=frac{e-1}{3}$