Question

Запишите комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и пока-зательной формах

Answer 1

$z=\dfrac{\sqrt{3} +i^{11}}{1-i\sqrt{3} } =\dfrac{\sqrt{3} +(i^2)^5\cdot i}{1-i\sqrt{3} } =\dfrac{\sqrt{3} +(-1)^5\cdot i}{1-i\sqrt{3} } =\dfrac{\sqrt{3}-i}{1-i\sqrt{3} } =\\=\dfrac{(\sqrt{3}-i)(1+i\sqrt{3})}{(1-i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3}) } =\dfrac{\sqrt{3}+3i-i-i^2\sqrt{3}}{1^2-(i\sqrt{3})^2 } =\dfrac{\sqrt{3}+2i+\sqrt{3}}{1-3i^2 } =\\=\dfrac{2\sqrt{3}+2i}{1+3} =\dfrac{2\sqrt{3}+2i}{4} =\dfrac{\sqrt{3}+i}{2} =\dfrac{\sqrt{3}}{2} +\dfrac{1}{2}i$

Алгебраическая форма записи:

$\boxed{z=\dfrac{\sqrt{3}}{2} +\dfrac{1}{2}i}$

Тригонометрическая форма записи:

$z=|z|(\cos(\arg z)+i\sin(\arg z))=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)$

$|z|=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} =1$

Зная, что $\cos\varphi=\dfrac{\sqrt{3} }{2}$ и $\sin\varphi =\dfrac{1}{2}$ найдем аргумент: $\varphi =\dfrac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма записи:

$\boxed{z=\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}}$

Показательная форма записи:

$z=\rho e^{i\varphi}$

Показательная форма записи:

$\boxed{z=e^{\frac{\pi}{6}i}}$