Question

Найдите все значения а, при которых уравнение: x^2-2x-a^2+2a=0 имеет только один положительный корень

Answer 1

Уравнение имеет один корень, если его дискриминант равен нулю.

дискриминант этого уравнения равен 4-4*(-a²+2a)=4+4а²-8а=

4*(а-1)²

4*(а-1)²=0⇒а=1

Проверим  x²-2x-a²+2a=0

х²-2х-1+2=0

(х-1)²=0⇒х=1, корень один, и он положительный.

это как частный случай. если же сгруппировать члены левой части, то x²-2x-a²+2a=0

(x²-a²)-2(х-a)=0;  (х-а)(х+а)-2(х-a)=0; (х-а)(х+а-2)=0

х=а, тогда x²-2x-х²+2х=0; получили 0=0, но надо отобрать только те а, которые положительны.

х+а-2=0

х=2-а

2-а>0   a<2

Если а больше двух, то получим отрицательный корень, если равен двум, то нуль.

Ответ х=а, при условии, что а>0,        х=2-а, если    a<2

Answer 2

https://znanija.com/task/35240074

Найдите все значения а, при которых уравнение: x²-2x-a²+2a=0 имеет только один положительный корень

Пошаговое объяснение:  x²- 2x - a²+2a=0 ⇔  x²- 2x - a(a-2) =0

D₁ =1² + a(a-2)  =(a -1)² ≥ 0  значит данное квадратное уравнение при любого  значения  параметра a  имеет решение:

x₁= 1 -  | a - 1 |    ;   x₂= 1 + | a-1 | > 0  для любого  a ∈ R ( множество действительных  чисел )  поэтому   x₁= 1 - | a - 1 |  должен быть не положительным

1 -  | a - 1 | ≤ 0 ⇔ | a - 1 |  ≥  1   ⇔   a - 1   ≤ - 1  или a - 1  ≥   1

* * *  [ a - 1   ≤ - 1  ;  a - 1  ≥  1 . ( совокупность  неравенств )  * * *

a  ≤ 0   или  a  ≥  2     иначе      Ответ :  a  ∈ ( -∞ ; 0]  ∪  [2 ; ∞ )

2-ой способ  

D₁ =(a-1)² ≥ 0  ⇒ имеет корней для всех a ∈ R

a = 1 ⇒ x² - 2x +1 =0 ⇔(x-1)² =0 ,  ⇒ x = 1 ( двукратный корень)

Если свободный член  - a(a-2) = 0 ⇒ a=0 или a=2 ,то  x²-  2x=0 ⇔

x(x -2)=0 ⇒ x₁= 0 , x₂ = 2  только корень  x=2 > 0 , т.е.   a = {0 ; 2}   удовлетворяют

Уравнение имеет корня разных знаков  , если  x₁*x₂ = - a(a - 2)  < 0⇔

a(a - 2)  >  0 ⇒  a  ∈ ( -∞ ; 0) ∪  (2 ; ∞ )

Окончательно  ответ:  a  ∈ ( -∞ ; 0 ] ∪ [2 ; ∞ )

P.S.  * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Сумма корней   x₁ + x₂ = 2  > 0  означает , хотя бы  один из корней

положительный .

Answer 3

https://znanija.com/task/35240074

Найдите все значения а, при которых уравнение: x²-2x-a²+2a=0 имеет ТОЛЬКО один положительный корень

Пошаговое объяснение:  x²- 2x - a²+2a=0 ⇔  x²- 2x - a(a-2) =0

D₁ =D/4 = 1² + a(a-2)  =(a -1)² ≥ 0  значит данное квадратное уравнение для любого  значения  параметра a  имеет  действительные корни притом  x₁ = 1 + | a-1 | > 0  для любого  a ∈ R ( множество действительных  чисел ), поэтому   x₂ = 1 - | a - 1 |  должен быть не положительным

1 -  | a - 1 |  ≤ 0 ⇔ | a - 1 |  ≥  1   ⇒  a - 1   ≤  - 1  или a - 1  ≥   1  ⇔

a  ≤ 0   или  a  ≥  2 .       Ответ :     a  ∈ ( -∞ ; 0]  ∪  [2 ; ∞ )

* * *сумма корней   x₁ + x₂ = 2  > 0   свою очередь тоже  подчеркивает  ,  что хотя бы  один из корней  уравнения положительный   * * *

* * * | a - 1 |  ≥  1  ⇔  [ a - 1   ≤ - 1  ;  a - 1  ≥  1 . ( совокупность  неравенств , записан в одной  строчкой )  ⇔  [ a  ≤ 0  ;  a   ≥ 2  .    * * *

2-ой способ  

D₁ =D/4 =a² + a(a-2) =(a - 1)² ≥ 0 ⇒ имеет действительных  корней для всех a ∈ R         * * * и имеет  смысл говорить о знаках корней * * *

Свободный  член равен  нулю , если  a= 0 или  a=2 .  Уравнение принимает вид  x²- 2x = 0 ⇔ x(x -2)=0 ⇒ x₁= 0 , x₂ = 2  только корень  x =2 > 0 ,  т.е. a=0 или  a=2  удовлетворяют требованию задачи  .

Уравнение  имеет  два  корня  разных  знаков  ,  если   x₁*x₂ <  0  ⇔    - a(a - 2)  < 0 ⇔  a(a - 2)  >  0 ⇒  a  ∈ ( -∞ ; 0) ∪  (2 ; ∞ )

+ + + + + + + + (0) - - - - - - - - - - (2) + + + + + + + +

Окончательно   ответ :  a  ∈ ( -∞ ; 0 ] ∪ [2 ; ∞ )

* * * ( - ∞ ; 0 ) ∪ (2 ; ∞ ) ∪ {0} ∪  {2}  =  ( - ∞ ; 0 ] ∪ [2 ; ∞ ) * * *

* * *  a = 1 ⇒ x² - 2x +1 =0 ⇔(x-1)² = 0 ⇒ x₁ =x₂ = 1 ( два равных положительных корня) * * *