Question

Два действительных числа х и у выбирают наугад независимо друг от друга так, что сумма их квадратов меньше 100. Какова вероятность того, что сумма положительных х и у окажется больше 64?

Answer 1

Практически очевидно, что если сумма квадратов двух положительных чисел меньше 100, то сумма самих этих чисел не может быть больше 64. Докажем это строго.

Первый способ.

Пусть сумма квадратов двух положительных чисел х и у равна 100.

$x^2+y^2=100$

Составим выражение для суммы чисел х и у и найдем при каком условии оно принимает максимальное значение и чему равно это значение.

$S=x+y$

Выразим у из первого условия: $y=\sqrt{100-x^2}$

$S=x+\sqrt{100-x^2}$

Найдем производную:

$S'=1+\dfrac{1}{2\sqrt{100-x^2}} \cdot(100-x^2)'=1-\dfrac{2x}{2\sqrt{100-x^2}} =1-\dfrac{x}{\sqrt{100-x^2}}$

Найдем точки экстремума:

$1-\dfrac{x}{\sqrt{100-x^2}} =0$

$\dfrac{x}{\sqrt{100-x^2}} =1$

$x=\sqrt{100-x^2}$

$x^2=100-x^2$

$2x^2=100$

$x^2=50$

$x=\pm\sqrt{50}$

$x=\pm5\sqrt{2}$

Учитывая, что х - положительное:

$x=5\sqrt{2}$ - точка максимума

$y=\sqrt{100-(5\sqrt{2}) ^2}=\sqrt{100-25\cdot2}=\sqrt{50} =5\sqrt{2}$

Максимум достигается при $x=y=5\sqrt{2}$ и он равен:

$S_{\max}=5\sqrt{2}+5\sqrt{2}=10\sqrt{2}$

Итак, даже при условии, что сумма квадратов равна 100, сама сумма не может быть больше $10\sqrt{2}$. По условию сумма квадратов меньше 100, значит сумма самих чисел меньше $10\sqrt{2}$ и точно не может быть больше 64. Значит, искомая вероятность равна 0.

Второй способ.

Графически решить систему $\begin{cases} x>0,\,\,y>0 \\ x^2+y^2<100 \\ x+y>64 \end{cases}$ и найти отношение площади фигуры, соответствующей решению этой системы, к площади, являющейся решением системы $\begin{cases} x>0,\,\,y>0 \\ x^2+y^2<100 \end{cases}$ (четверть окружности радиуса 10). Однако, первая система решений иметь не будет, значит вероятность равна 0.

Ответ: 0