Question

Доказать:
Квадрат числа n равен сумме |n|-ого количества всех натуральных нечётных чисел от 1 до (2|n|-1).

n = 1 + 3 + 5 + ... + (2|n| - 1)

Например:
5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Необходимо доказать, что $n^{2}=1+3+. . .+(2n-1)$

Докажем это утверждение с помощью метода математической индукции.

1. База индукции - при n = 1

1² = 1

Получили верное равенство, следовательно база индукции выполнена.

2. Шаг индукции. Предположим, что наше утверждение верно при n = k, т.е. $k^{2}=1+3+. . .+(2k-1) (1)$

Докажем теперь, что в таком случае утверждение будет верно и для n = k + 1.

$(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1$

Вместо k² в правую часть равенства подставим верное равенство (1), получим:

$(k+1)^{2}=1+3+. . .+(2k-1)+(2k+1)$

Т.е утверждение верно и для n = k + 1 и доказан шаг индукции.