Question

Найти экстремум функции z=3-2x-y при условии x^2+2y^2=5.

Answer 1

Используем метод множителей Лагранжа

$L=3-2x-y+lambda(x^2+2y^2-5)\ L'_x=-2+2lambda x\ L'_y=-1+4lambda y\ begin{equation*} begin{cases} L'_x=0, \ L'_y=0,\ x^2+2y^2-5=0. end{cases}end{equation*} Rightarrow begin{equation*} begin{cases} x=dfrac{1}{lambda }\ y=dfrac{1}{4lambda },\ x^2+2y^2-5=0. end{cases}end{equation*} \ Rightarrow dfrac{1}{lambda ^2}+2*dfrac{1}{16lambda ^2}=5Rightarrow lambda^2=dfrac{9}{40}=>lambda_{1,2}=pm dfrac{3}{2sqrt{10}}$

Тогда точки, подозрительные на экстремум -

$M_1(dfrac{2sqrt{10}}{3};dfrac{sqrt{10}}{6}),M_2(-dfrac{2sqrt{10}}{3};-dfrac{sqrt{10}}{6})$

$d^2L=L''_{xx}(dx)^2+2L''_{xy}dxdy+L''_{yy}(dy)^2=2lambda(dx)^2+2*0dxdy+4lambda(dy)^2=2lambda(dx)^2+4lambda(dy)^2$

$(d^2L)|_{M_1}=(2(dx)^2+4(dy)^2)*dfrac{3}{2sqrt{10}}>0$ , а значит в точке M1 достигается условный минимум

$(d^2L)|_{M_2}=(2(dx)^2+4(dy)^2)*(-dfrac{3}{2sqrt{10}})<0$ , а значит в точке M2 достигается условный максимум