Question

ВЫШ МАТ . Решить 2 примера из одной колонки и из второй. Дифиренциальные уравнения. Даю 100!

Answer 1

$1.1); ; y'-frac{y}{x}=3x\\y=uv; ; ,; ; y'=u'v+uv'\\u'v+uv'-frac{uv}{x}=3x\\u'v+ucdot (v'-frac{v}{x})=3x\\a); ; v'-frac{v}{x}=0; ; ,; ; frac{dv}{dx}=frac{v}{x}; ; ,; ; int frac{dv}{v}=int frac{dx}{x}; ; ,; ; ln|v|=ln|x|; ; ,; ; v=x\\b); ; u'v=3x; ; ,; ; frac{du}{dx}cdot x=3x; ; ,; ; int du=int 3, dx; ,; ; u=3x+C\\c); ; y=uv=xcdot (3x+C)$

$1.5); ; (x^2+1)y'-xy=x^3+x; ; to ; ; ; ; y'-frac{x}{x^2+1}cdot y=frac{x^3+x}{x^2+1}\\y=uv; ; ,; ; y'=u'v+uv'\\u'v+uv'-frac{x}{x^2+1}cdot uv=frac{x(x^2+1)}{x^2+1}\\u'v+ucdot (v'-frac{x}{x^2+1}cdot v)=x\\a); ; frac{dv}{dx}=frac{x}{x^2+1}cdot v; ; ,; ; int frac{dv}{v}=frac{1}{2}int frac{2x, dx}{x^2+1}; ; ,; ; ln|v|=frac{1}{2}cdot ln(x^2+1); ; ,; ; v=sqrt{x^2+1}$

$b); ; frac{du}{dx}cdot sqrt{x^2+1}=x; ; ,; ; int du=frac{1}{2}int frac{2x, dx}{sqrt{x^2+1}}; ; ,; ; u=frac{1}{2}cdot 2 sqrt{x^2+1}+C=sqrt{x^2+1}+C\\c); ; y=sqrt{x^2+1}cdot (sqrt{x^2+1}+C)\\y=x^2+1+Csqrt{x^2+1}$

$2.1); ; y'+3y=xe^{-3x}; ; ,; ; y(0)=0\\y=uv; ; ,; ; y'=u'v+uv'\\u'v+uv'+3uv=xe^{-3x}\\u'v+ucdot (v'+3v)=xe^{-3x}\\a); ; frac{dv}{dx}=-3v; ; ,; ; int frac{dv}{v}=-3int dx; ; ,; ; ln|v|=-3x; ,; ; v=e^{-3x}\\b); ; frac{du}{dx}cdot e^{-3x}=xe^{-3x}; ; ,; ; int du=int x, dx; ; ,; ; u=frac{x^2}{2}+C\\c); ; y=e^{-3x}cdot (frac{x^2}{2}+C)\\d); ; y(0)=e^0cdot (0+C)=1cdot C=0; ; to quad C=0\\y=e^{-3x}cdot frac{x^2}{2}$

$2.4); ; (1-x^2)cdot y'-2xy=(1-x^2)^2; ; ,; ; y(3)=40\\y'-frac{2x}{1-x^2}cdot y=frac{(1-x^2)^2}{1-x^2}\\y=uv; ; ,; ; y'=u'v+uv'\\u'v+uv'-frac{2x}{1-x^2}cdot uv=1-x^2\\u'v+ucdot (v'-frac{2x}{1-x^2}cdot v)=1-x^2\\a); ; frac{dv}{dx}=frac{2xv}{1-x^2}; ; ,; ; int frac{dv}{v}=-int frac{-2x, dx}{1-x^2}; ; ,; ; ln|v|=-ln|1-x^2|\\v=frac{1}{1-x^2}\\b); ; frac{du}{dx}cdot frac{1}{1-x^2}=1-x^2; ; ,; ; int du=int (1-x^2)^2, dx; ; ,$

$int du=int (1-2x^2+x^4), dx; ; ,; ; u=x-frac{2x^3}{3}+frac{x^5}{5}+C\\c); ; y=frac{1}{1-x^2}cdot (x-frac{2x^3}{3}+frac{x^5}{5}+C)\\d); ; y(3)=frac{1}{1-9}cdot (3-18+frac{32}{5}+C)=40\\-frac{1}{8}cdot (-frac{43}{5}+C)=40; ; ,; ; -frac{43}{5}+C=-320; ; ,; ; C=-311,4\\y=frac{1}{1-x^2}cdot (x-frac{2x^3}{3}+frac{x^5}{5}-311,4)$