Question

Задача 1: Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через вершины B и
C трапеции проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках N и K
соответственно.
а) Каково взаимное расположение прямых NK и AB?
б) Чему равен угол между прямыми NK и AB, если ∠ABC=150°.

Задача 2: Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую
сторону AC. Точка M — середина стороны AD, точка N — середина DC.
а) Каково взаимное расположение прямых MN и AB?
б) Чему равен угол между прямыми MN и AB, если ∠ ABC=40° и ∠ BCA=80°.

Answer 1

Ответ:

1)

Основание АD трапеции ABCD лежит в плоскости α .Через точки B и C проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость α в точках E и F соответственно.

          1) Каково взаимное расположение прямых EF и AB? 

(Уточняем -  в плоскости α лежит только АД, а ВС - не лежит. В противном случае ВЕ и СF  не пересекали бы плоскость α, а лежали в ней).

ВС параллельна АD ⇒ параллельна плоскости α.

АD параллельна  ВС, ЕF параллельна ВС.  Две прямые , параллельные третьей прямой, параллельны.

 ⇒ ЕF параллельна АD и параллельна плоскости АВСD, но не параллельна АВ, которая пересекается с АD. 

⇒ Прямые EF и AB - скрещивающиеся.

            2) Чему равен угол между прямыми EF и AB, если ABC = 150°?

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. 

Сумма углов при боковой стороне трапеции 180°, следовательно, угол ВАD=180°-150°=30°.

Проведем в плоскости ВЕF прямую ЕК, параллельную АВ.

 ЕК|║АВ;  ЕF║АD  Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.⇒

 ∠FЕК=∠ВАD=30°

-----------

ВЕ и СF могут быть проведены в плоскости АВСD. 

Тогда ЕD будет лежать на АD и в этом случае непараллельные прямые EF и АВ лежат в одной плоскости. Тогда АВ  и  EF пересекyтся. 

2)  1.Каково взаимное расположение прямых PK и AB? - скрещиваются, РК параллельна АС, как средняя линия, значит она не пересекает АС, а значит не имеет общих точек с плоскостью АВС.

 2.Чему равен угол между прямыми PK и AB, если ABC = 40° и BCA = 80°?

 PK и AB скрещиваются, так как они не параллельны и не пересекаются. Искомый угол

равен углу BAC. 

Угол BAC = 180 - 40 - 80 = 60.

Объяснение: