Question

Интеграл (a^x+b^x)^2 dx

Answer 1

$int ({a}^{x} + {b}^{x})^{2} dx = int {a}^{2x} + 2 {a}^{x} {b}^{x} + {b}^{2x} dx = \ = int {a}^{2x} dx + 2int {a}^{x} {b}^{x} dx + int {b}^{2x} dx$

Первая часть интеграла:

$int {a}^{2x} dx = int frac{t}{2t ln(a) }dt = frac{t}{2 ln(a) } = frac{ {a}^{2x} }{2 ln(a) } \ {a}^{2x} = t, : dx = frac{1}{2 {a}^{2x} ln(a) } dt$

Вторая часть интеграла:

$int {a}^{x} {b}^{x} dx = int(ab) {}^{x} dx = frac{(ab) {}^{x} }{ ln(ab) }$

Третья часть интеграла:

$int {b}^{2x} dx = int frac{t}{2t ln(b) }dt = frac{t}{2 ln(b) } = frac{ {b}^{2x} }{2 ln(b) } \ {b}^{2x} = t, : dx = frac{1}{2 {b}^{2x} ln(b) } dt$

Собираем:

$int( {a}^{x} + {b}^{x} ) {}^{2} dx = frac{ {a}^{2x} }{2 ln(a) } + frac{(ab) {}^{x} }{ ln(ab) } + frac{ {b}^{2x} }{ 2ln(b) }$