Question

Дифференциальное уравнение
$y'=y-x^2$

Answer 1

$y'=y-x^2$

$y'-y=-x^2$

Первый способ.

Решение ищем как сумму общего решения однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения данного неоднородного уравнения.

Составим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$y'-y=0$

Решаем уравнение с разделяющимися переменными:

$y'=y$

$\dfrac{dy}{dx} =y$

$\dfrac{dy}{y} =dx$

$\int\dfrac{dy}{y} =\int dx$

$\ln|y| =x+C$

Общее решение однородного уравнения:

$y=e^{x+C}$

Частное решение ищем в виде $\overline{y}=Ax^2+Bx+C$.

Найдем производную:

$\overline{y}'=2Ax+B$

Подставим в уравнение:

$2Ax+B-Ax^2-Bx-C=-x^2$

$-Ax^2+(2A-B)x+(B-C)=-x^2$

Условие равенства левой и правой частей:

$\begin{cases} -A=-1\\ 2A-B=0 \\ B-C=0 \end{cases}$

$\begin{cases} A=1\\ 2-B=0 \\ C=B \end{cases}$

$\begin{cases} A=1\\ B=2 \\ C=2 \end{cases}$

Частное решение неоднородного уравнения:

$\overline{y}=x^2+2x+2$

Искомое решение:

$\boxed{y=e^{x+C}+x^2+2x+2}$

Второй способ.

Решение ищем в виде произведения двух ненулевых функций $y=uv$. Тогда $y'=u'v+v'u$.

$u'v+v'u-uv=-x^2$

Пусть сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна нулю:

$u'v-uv=0$

$u'-u=0$

$\dfrac{du}{dx} -u=0$

$\dfrac{du}{dx}=u$

$\dfrac{du}{u}=dx$

$\ln|u|=x$

$u=e^x$

Тогда второе слагаемое в левой части равно правой части:

$v'u=-x^2$

$v'\cdot e^x=-x^2$

$\dfrac{dv}{dx} \cdot e^x=-x^2$

$dv=-x^2e^{-x}dx$

$\int dv=-\int x^2e^{-x}dx$

Интеграл $\int x^2e^{-x}dx$ вычислим отдельно. Будем использовать интегрирование по частям: $\int udv=uv-\int vdu$ (не записывая произвольную константу):

$\int x^2e^{-x}dx=\left<\begin{array}{c} u=x^2;\ du=2xdx\\ dv=e^{-x}dx;\ v=-e^{-x}\end{array}\right>=-x^2e^{-x}-\int(-e^{-x}\cdot2xdx)=\\=-x^2e^{-x}+2\int xe^{-x}dx=\left<\begin{array}{c} u=x;\ du=dx\\ dv=e^{-x}dx;\ v=-e^{-x}\end{array}\right>=\\=-x^2e^{-x}+2\left(x\cdot(-e^{-x})-\int(-e^{-x}dx)\right)=-x^2e^{-x}+2\left(-xe^{-x}+\int e^{-x}dx\right)=\\=-x^2e^{-x}+2\left(-xe^{-x}-e^{-x}\right)=-x^2e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}=-(x^2+2x+2)e^{-x}$

Таким образом:

$v=-(-(x^2+2x+2)e^{-x})+C$

$v=(x^2+2x+2)e^{-x}+C$

Искомая функция:

$y=uv=e^x\cdot\left((x^2+2x+2)e^{-x}+C\right)$

$\boxed{y=x^2+2x+2+Ce^x}$