Question

Каково наименьшее значение выражения $(tg\alpha +ctg\alpha )^{2}$ ?

Answer 1

$( \tan( \alpha ) + \cot( \alpha ) ) {}^{2} = (\frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } + \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } ) {}^{2} = \\ = (\frac{1}{ \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) }) {}^{2} = \frac{4}{ \sin {}^{2} ( \alpha ) }$

Так как функция синус изменяется от -1 до 1 включительно, то функция 1/sinx изменяется от -∞ до -1 и от 1 до +∞. Тогда функция 1/sin²x изменяется от 1 до +∞. Ну и понятно что функция 4/sin²x будет изменяться от 4 до +∞, а значит минимальное значение функции – 4.

Ответ: 4