Question

Найти все значения a, при которых вершины парабол

$y=x^{2}-2(a+1)x+1$  и $y=ax^{2}-x+a$

лежат по разные стороны от прямой y=3/4 

Answer 1

Координата х вершины параболы находится по формуле $x=-frac{b}{2a}$, тогда $x_{1}=frac{2(a+1)}{2}=a+1\ x_{2}=frac{1}{2a}.$

 

Условие при котором эти вершины лежат по разные сторны от прямой y=3/4  следующее $begin{cases} a+1<frac{3}{4}\frac{1}{2a}>frac{3}{4}end{cases}$ или $begin{cases} a+1>frac{3}{4}\frac{1}{2a}<frac{3}{4}end{cases}$

 

эти два условия можно объединить в одно $(a+1-frac{3}{4})(frac{1}{2a}-frac{3}{4})<0\ (a-frac{1}{4})frac{(4-6a)}{2a}<0$

 

Полученное неравенство решим методом интервалов. Рисунок в прикрепленном файле.