Question

Геометрия. Помогите пж кто сможет

Answer 1

$1. \ \vec{a}(2; 2; -1); \ \vec{b}(4; 2; -1)$

$3\vec{a}(6; 6; -3); \ \ \ 2\vec{b}(8; 4; -2)$

$\vec{c} = 3\vec{a} - 2\vec{b} = \overrightarrow{(6 - 8; 6 - 4; -3 - (-2))} = \overrightarrow{(-2; 2; -1)}$

Відповідь: $\vec{c}(-2; 2; -1)$

$2. \ \vec{a}(0; 1; -1); \ \vec{b}(-1; -1; 0)$

Скалярний добуток двох векторів:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 = -1$

Довжини векторів:

$|\vec{a}| = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}$

Наслідок зі скалярного добутку двох векторів:

$\cos \varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\bec{b}|} = \dfrac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\dfrac{1}{2}$, де $\varphi = \left(\widehat{\vec{a} \ \vec{b}} \right)$

Отже, $\cos \varphi = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 120^{\circ}$

Відповідь: $120^{\circ}$

$3. \ \vec{a} (-2; \ 8; \ -4); \ \vec{b}(1; -4; x)$

Умова колінеарності векторів:

$\dfrac{-2}{1} = \dfrac{8}{-4} = \dfrac{-4}{x}$

Отже, $x = \dfrac{-4 \cdot (-4)}{8} = 2$

Відповідь: $x = 2$

$4. \ A(1; -2; 3); \ B(2; 3; -5); \ D(-4; 5; 1)$

Тут $\overrightarrow{AB}(1; 5; -8); \ \overrightarrow{AD}(-5; 7; -2)$

Тоді $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$, отже, $\overrightarrow{AC}(-4; 12; -10)$

Нехай $C(x; y; z)$. Тоді $\overrightarrow{AC}(x - 1; y + 2; z - 3)$

Ставимо у відповідність координати вектора $\overrightarrow{AC}$:

$x - 1 = -4; \ x = -3$

$y + 2 = 12; \ y = 10$

$z - 3 = -10; \ z = -7$

Відповідь: $C(-3; 10; -7)$

$5.$ Відповідь: 1—б; 2—г; 3—а; 4—в.