Question

Дифференцированные уравнения.
Найти общее решение уравнения.
y'+2*y=(x^2)-x
Полное решение, чем подробнее тем лучше. За ранее спасибо, если поможете очень выручите.

Answer 1

Умножим обе части уравнения на $e^{2x}$

$e^{2x}y'+2y\cdot e^{2x}=\Big(x^2-x\Big)e^{2x}\\ \\ \Big(y\cdot e^{2x}\Big)'=\Big(x^2-x\Big)e^{2x}\\ \\ y\cdot e^{2x}=\displaystyle \int \Big(x^2-x\Big)e^{2x}dx=\left\{\begin{array}{ccc}u=x^2-x;~~~ du=(2x-1)dx\\ \\ dv=e^{2x}dx;~~~ v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{array}\right\}=\\ \\ \\ =\dfrac{x^2-x}{2}e^{2x}-\int \dfrac{1}{2}e^{2x}(2x-1)dx=\dfrac{x^2-x}{2}e^{2x}+\dfrac{e^{2x}}{4}-\int xe^{2x}dx=$

$=\left\{\begin{array}{ccc}u=x;~~~ du=dx\\ \\ dv=e^{2x}dx;~~~ v=\dfrac{e^{2x}}{2}\end{array}\right\}=\dfrac{x^2-x}{2}e^{2x}+\dfrac{e^{2x}}{4}+\dfrac{xe^{2x}}{2}-\displaystyle \int \dfrac{e^{2x}}{2}dx=\\ \\ \\ =\dfrac{x^2-x}{2}e^{2x}+\dfrac{e^{2x}}{4}+\dfrac{xe^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}+C=\dfrac{e^{2x}}{4}\Big(x-1\Big)^2+C$

$y=\dfrac{\Big(x-1\Big)^2}{4}+Ce^{-2x}$ — общее решение диф. уравнения.