Question

Решите уравнение:
$x^3-[x]=3$,
где $[x]$ - целая часть числа $x$

Answer 1

Заметим, что $x^{3}=3+[x]$, то есть $x^3$ — целое число. Это означает, что $x=sqrt[3]{m},; minmathbb{Z}$, где $m=x^3$; Имеем: $m=3+[sqrt[3]{m}]$; Теперь надо отметить, что число $m$ лежит между двумя кубами: $n^{3}$ и $(n+1)^3$; Пусть $m>0$. Тогда $[sqrt[3]{m}]=n$; Но $mgeq n^3$, тогда $3+ngeq n^3$. Решим это неравенство:

Докажем, что для $ngeq 2$ решений нет. Действительно, касательная к $x^3$ в точке $x_{0}=2$ имеет вид $12(x-2)+8$; Более того, для $x>0$ $x^3$ выпукла вниз ($(x^3)''=6x$); Значит, для $ngeq 2$ $n^3geq 12(n-2)+8>n+3$; Осталось проверить значение 1, которое подходит.

Значит, $m=4$ и $x=sqrt[3]{4}$; Если $mleq 0$, то аналогично $n=[sqrt[3]{m} ]$ и неравенство уже справедливо для всех $nleq 0$; Но $mleq (n+1)^3$ поэтому $3+n leq (n+1)^3$, что не имеет решений при отриц. $n$. Здесь аналогично. Рассмотрим касательную в точке $-1-frac{1}{sqrt{3}}$; Тогда она имеет вид: $x+frac{1}{sqrt{3}}+1-(frac{1}{sqrt{3}})$; По выпуклости вверх на интервале $(-infty,; -1)$ можно записать неравенство для $nleq -1-frac{1}{sqrt{3}}$: $(n+1)^3leq x+frac{1}{sqrt{3}}+1-(frac{1}{sqrt{3}}) <x+3$; Тем самым, остается проверить значения $n=-1$ и $n=0$. Они не подходят, откуда заключаем, что решение единственно.

Ответ: $x=sqrt[3]{4}$

Answer 2

я о кубе