Question

В ящике лежат 9 синих и 12 красных карандашей. Наугад вынимают 8
карандашей. Найдите вероятность того, что среди них ровно 5 синих.

Answer 1

Пусть событие А - среди карандашей ровно 5 синих".

Воспользуемся классическим определением вероятности: $p(A)=\frac{m}{n}$, где $n$ - общее число исходов, $m$ - число благоприятных исходов.

Выбрать 8 карандашей из 9 + 12 = 21 карандашей можно $C_{21}^8$ способами, т.е.

$n=C_{21}^8=C_{21}^{21-8}=C_{21}^{13}=\frac{21!}{13!\cdot(21-13)!}=\frac{21\cdot20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14}{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=5\cdot9\cdot14\cdot17\cdot19.$

Благоприятных исход должен быть таковым, что среди 8 карандашей ровно 5 синих. Тогда остальные 3 - красные.

Выбрать 5 синих шаров можно $C_{9}^5$  способами, а 3 красных - $C_{12}^3$ способами, т.е.

$m=C_9^5\cdot C_{12}^3=\frac{9!}{5!(9-5)!}\cdot\frac{12!}{3!(12-3)!}=\frac{9!}{5!\cdot4!}\cdot\frac{12!}{3!\cdot 9!}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1} =5\cdot7\cdot8\cdot9\cdot11.$

Тогда

$p(A)=\frac{5\cdot7\cdot8\cdot9\cdot11}{5\cdot9\cdot14\cdot17\cdot19}=\frac{44}{323} .$

ОТВЕТ: 44/323