Question

Помогите решить интеграл!
$\frac{sin(arctan \: (x))}{1 + {x}^{2} } dx$​

Answer 1

$\int \frac{ \sin( \arctg(x)) }{1 + {x}^{2} } dx = I$

Пользуясь формулой упростим интеграл:

$\sin( \arctg(x)) = \frac{x}{ \sqrt{1 + {x}^{2} } }$

$I = \int \frac{x}{(1 + {x}^{2}) \sqrt{1 + {x}^{2} } } dx = \int \frac{x}{t \sqrt{t}} \times \frac{1}{2x} dt = \\ 1 + {x}^{2} = t, \: dx = \frac{1}{2x} dt \\ = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t \times {t}^{ \frac{1}{2} } } dt = \frac{1}{2} \int {t}^{ - \frac{3}{2} } dt = \frac{1}{2} ( - \frac{2}{ \sqrt{t} } ) = \\ = - \frac{1}{ \sqrt{t} } = - \frac{1}{ \sqrt{ {x}^{2} + 1 } } + C$